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Estude EAD
Cálculo Semana 07
Propriedades dos Limites
1ª) 
O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
Exemplo:
2ª) 
O limite do produto é o produto dos limites.
Exemplo:
3ª) 
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
Exemplo:
4ª) 
Exemplo:
5ª) 
Exemplo:
6ª) 
Exemplo:
7ª) 
Exemplo:
8ª) 
Exemplo:
Derivadas
| A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. |
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
y' , dy/dx ou f ' (x).
y' , dy/dx ou f ' (x).
A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:
Algumas derivadas básicas
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.
a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante
Derivada da potência
Portanto:
Soma / Subtração
Produto por uma constante
Derivada do produto
Derivada da divisão
Potência de uma função
Derivada de uma função composta
Integrais
Integrais indefinidas
Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.
Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).
Exemplos:
- Se f(x) =
, então 
é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .
- Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2é f(x) = x3.
- Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.
Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real.
Propriedades das integrais indefinidas
São imediatas as seguintes propriedades:
1ª. 
, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.
, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.2ª. 
, ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.
, ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.3ª. 
, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função. Integração por substituição
Seja expressão 
.
. Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou 
, ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
, ou ainda, du = f'(x) dx, vem:,admitindo que se conhece 
.
.O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.
INTEGRAIS DEFINIDAS
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a atéb, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
 |
onde:
- a é o limite inferior de integração;
- b é o limite superior de integração;
- f(x) é o integrando.
Se 
representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para 
representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para  |
Se 
representa a área entre as curvas, para
representa a área entre as curvas, para  |
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